Direkte Bestimmung der Maximum-Likelihood Schätzungen für Erwartungswert und Varianz durch algebraische Zerlegung der Fisherschen Likelihoodfunktion

Schätzungen für Parameter einer unbekannten Grundgesamtheit aus vorgegebenen Stichprobendaten mit Hilfe des von R. A. Fisher (1890-1962) eingeführten Maximum-Likelihood Prinzips (gleich Größ-tes Wahrscheinlichkeitsprinzip) sind integraler Bestandteil von Grundkursen in Schließender Statistik an Hoch- und Fachhochschulen. In der Praxis finden sie regelmäßig Verwendung in der Qualitätskon-trolle, bei der Hochrechnung von Wahlergebnissen, in der Medizin etc. Üblicherweise wird zu ihrer Gewinnung aus der Likelihoodfunktion die Differentialrechnung herangezogen. Ziel dieser Betrach-tung ist, darauf aufmerksam zu machen, dass diese Schätzungen bei geschickter Umformung der Like-lihoodfunktion ggf. direkt aus dieser ablesbar sind. Die Vorgehensweise entspricht einer Funktional-analyse, bei der die Likelihoodfunktion gezielt nach den Abweichungen der unbekannten Parameter der Grundgesamtheit von entsprechenden Parametern der Stichprobe entwickelt wird. Sie ist zur Ge-winnung von Regressionsparametern bei der Zerlegung der Gaußschen Summe der Abstandsquadrate praktiziert worden (Maier, 2000 und 2011). Gegenstand der hier vorgestellten Lösung ist der Sonder-fall, dass die zugrundeliegende zufällige Variable stetig und normalverteilt ist und die unbekannten Parameter Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung aus einer vorliegenden Stichprobe zu schätzen sind.