Interpolationsverfahren am Beispiel der Interpolation der deutschen Einkommensteuertariffunktion 2006

Die Zunahme der Komplexität betriebswirtschaftlicher Vorteilhaftigkeitsüberlegungenkann dazu führen, dass die den Entscheidungen zugrunde liegenden Modelle nicht mehrexakt lösbar sind. Die exakte Lösbarkeit der Modelle hängt dabei im Wesentlichen vonder Komplexität der berücksichtigten steuerrechtlichen Vorschriften ab. Ein Grund, derdie exakte Lösbarkeit verhindern kann, ist die zu berücksichtigende Einkommensteuertariffunktion,da diese häufig eine nichtdifferenzierbare Funktion darstellt.Ziel dieses Beitrags ist, aufzuzeigen, inwiefern das Problem der Nichtdifferenzierbarkeitvon Tariffunktionen durch Polynominterpolation umgangen werden kann. Am Beispielder deutschen Einkommensteuertariffunktion 2006 wird gezeigt, wie mit Hilfe von Polynomenauf monomialer Basis, Lagrange-Basis und Newton-Basis die Tariffunktioninterpoliert werden kann, so dass zweifache Differenzierbarkeit gewährleistet ist. DerNachteil dieser Interpolationsmethoden besteht darin, dass lediglich innerhalb des Intervallsdes ersten und letzten Stützpunktes die Abweichungen zur Originalfunktiongering gehalten werden können. Vor dem ersten bzw. nach dem letzten Stützpunktkann aufgrund hoher „Welligkeit“ der Polynome keine ausreichende Approximation gewährleistetwerden. Aus diesem Grund wird gezeigt, wie durch Spline Interpolationdie Approximation verbessert werden kann. Der Nachteil der Spline Interpolation ist,dass die Interpolationsfunktion ebenfalls wie die deutsche Einkommensteuertariffunktioneine abschnittsweise definierte Funktion darstellt und dadurch eine neben derDifferenzierbarkeit wünschenswerte einfachere Handhabung nicht gewährleistet ist.Da sich die Nichtdifferenzierbarkeit der Einkommensteuertariffunktion ausschließlichauf die Intervallgrenzen bezieht, wird zuletzt gezeigt, wie unter Verwendung von einzelnenSplines die Intervallgrenzen interpoliert werden können. Dies hat den Vorteil,dass sich die Abweichungen der Interpolationsfunktion zur Tariffunktion ausschließlichauf relativ kleine Abschnitte um die Intervallgrenzen reduzieren