Portfolio-Modelle mit unscharfen Parametern. Ein theoretischer und empirischer Vergleich mit dem klassischen Modell nach Markowitz.

In der vorliegenden Arbeit werden Modelle für die Portfolio-Optimierung analysiert und implementieren. Dabei stehen quantitative Methoden der Fuzzy-Logik im Vordergrund. Zunächst wird das klassische Portfolio-Modell nach Markowitz dargestellt und dessen Resultate für einen Vergleich mit einem neuen Ansatz aufbereitet. Es wird eine Grundlage aufgebaut, auf der neue Modelle entwickelt werden können.Das Hauptmerkmal der angestrebten neuen Modelle besteht darin, die Fuzzy-Logik mit anstelle der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik für die Portfolio-Optimierung zu verwenden. Es wird zunächst die neuere Literatur über Fuzzy-Portfolio-Modelle betrachtet. Anschließend wird auf der Grundlage der Fuzzy-Logik ein naives Modell zur Demonstration der Methoden dargestellt. Als Kern dieser Arbeit wird ein sogenanntes Fuzzy-Hauptmodell in einem weiteren Schritt entwickelt und vorgestellt. Ein zentraler Bestandteil des Hauptmodells ist die Modellierung des Renditenvektors als unscharfe Menge. Zur empirischen Erfassung dieser unscharfen Menge wird jeder beobachtete Renditenvektor als ein Datenpunkt im N-dimensionalen Euklidischen Raum aufgefasst. Alle Datenpunkte werden durch ein Ellipsoid mit minimalen Volumen abzudecken versucht, das anschließend als Modellparameter verwendet wird. Für die Bestimmung des volumenminimalen Ellipsoids wird auf Khachiyans iterativen Algorithmus zurückgegriffen. Dann werden α-Schnitte der unscharfen Menge betrachtet. Für jeden dieser α-Schnitte werden die maximal- und minimal mögliche Rendite eines Portfolios berechnet. Diese beiden Extremfälle werden durch das Hurwicz-Prinzip zu einem Kompromiss zusammengebracht. Anschließend wird den verschiedenen α-Schnitten jeweils eine Gewichtung durch eine Gewichtungsfunktion zugewiesen, so dass eine Gesamtbetrachtung über alle α-Schnitten simultan möglich wird. Nach diesen Arbeitsschritten ergibt sich eine neue Zielfunktion, die eine Optimierung des Portfolios ermöglicht. Unter Zulassung von Leerverkäufen und für pessimistische Anlegern ist es möglich, eine explizite Lösung des Fuzzy-Hauptmodells anzugeben. Diese explizite Lösung wird zuerst auf dem direkten Weg hergeleitet. Nach einem Vergleich mit dem klassischen Portfolio-Modell nach Markowitz wird anschließend ein indirekter Weg in zwei Stufen beschritten. Aufgrund der ähnlichen mathematischen Problemstruktur ähnelt dieser Lösungsweg dem für das klassische Portfolio-Modell. Die Modellierungen allerdings unterscheiden sich. Neben dem betrachteten Fall für pessimistische Anleger mit Zulassung von Leerverkäufen werden auch andere Gegebenheiten berücksichtigt. In einem kurzen empirischen Teil dieser Arbeit werden sowohl das klassische Portfolio-Modell als auch das neue Fuzzy-Hauptmodell auf der gleichen Datengrundlage implementiert. Die optimalen Portfolios zu verschiedenen Rahmenbedingungen werden für beide Modelle berechnet. Die Optimierungsergebnisse werden vergleichend diskutiert.